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Geometrie Mittelsenkrechte 1.) Die Mittelstrecke einer Strecke ist die Symmetrieachse der Strecke. 2.) Alle Punkte einer Mittelstrecke einer Strecke haben zu B und A denselben Abstand. Winkelhalbierende 1.) Die Winkelhalbierende ist die Symmetrieachse des Winkels. 2.) Alle Punkte auf der Winkelhalbierenden eines Winkels haben zu den beiden Schenkeln des Winkels den gleichen Abstand. Bezeichnungen im Dreieck Die Eckpunkte von Dreiecken beschriftet man mit großen Buchstaben. Die Seiten von Dreiecken beschriftet man mit kleinen Buchstaben. Die Winkel von Dreiecken beschriftet man mit griechischen Buchstaben. Bezeichnungen in einem gleichschenkligen Dreieck Scheitel- und Nebenwinkel Schneiden sich zwei Geraden g und h in einem Punkt, dann heißen... 1.) ... zwei Winkel, die nebeneinander liegen (z.B. und ) Neben Winkel. Die Summe zweier Nebenwinkel ist immer 180°. 2.) ...zwei Winkel, die Gegenüber liegen (z. B und ) Nebenwinkel. Beispiel Stufenwinkel und Wechselwinkel Werden zwei Geraden g und h von einer dritten s geschnitten, bezeichnet man: 1.) Winkel, die wie 1 und 2 (bzw. 1 und 1 usw.) zueinander liegen Stufenwinkel. 2.) Winkel, die wie 1 und d2 (bzw. d1 und 2 usw.) zueinander liegen Wechselwinkel. Beispiel Stufen und Wechselwinkel an parallelen Geraden An zueinander parallelen Geraden gilt: 1.)Wechselwinkel sind gleich groß. 2.)´Stufenwinkel sind gleich groß. Außenwinkel am Dreieck Die Winkel in einem Dreieck heißen Innenwinkel. Verlängert man die Seiten des Dreiecks zu Geraden, so erhält man Nebenwinkel zu den Innenwinkeln. Diese Nebenwinkel nennt man Außenwinkel des Dreiecks. In einem Dreieck gilt: Jeder Außenwinkel ist so groß wie die Summe der nicht anliegenden Innenwinkel. Begründung: ++= 180° ( Winkelsumme im Dreieck beträgt 180° ) +1 = 180° (Nebenwinkel) Also folgt: 1= + Beispiel Regel im Dreieck Die Summe der Außenwinkel eines Dreiecks beträgt immer 360°. Beweis: 1 =+ 1 =+ 1 = + Also folgt: 1+ 1+ 1= +++ + += [ ++]+[ ++]= 180° + 180°=360° Vielecke (n- Ecke) Die Winkelsumme eines n- Ecks beträgt: (n-2)*180° In einem n-Eck sind (n-2) Dreiecke. Kongruenz Zwei Figuren, die die gleiche Form und die gleiche Größe haben nennt man kongruent. Sie unterscheiden sich nur in ihrer Lage untereinander. Zwei Vielecke F und V sind kongruent, wenn sämtliche Strecken und Winke von F kongruent (maßgleich) sind zu den entsprechenden Strecken bzw. Winkeln von V. Kongruentsätze für Dreiecke 1.Kongruentsatz (SSS) Wenn bei zwei Dreiecken die entsprechenden Seiten gleich lang sing, dann sind die beiden Dreiecke zueinander kongruent. 2.Kongruentsatz (SWS) Wenn zwei Dreiecke in zwei Seiten und den von ihnen eingeschlossene Winkel übereinstimmen, dann sind die Dreiecke kongruent. 3.Kongruentsatz (WSW) Wenn zwei Dreiecke in einer Seite und den beiden Winkeln ,die an ihr liegen, übereinstimmen, dann sind die beiden Dreiecke zueinander kongruent. 4.Kongruentsatz (SsW) Wenn zwei Dreiecke in zwei Seiten und dem Winkel gegenüber der längeren Seite übereinstimmen, dann sind die beiden Dreiecke zueinander kongruent. Beispiel für eine Konstruktionsbeschreibung Ich zeichne die Strecke b ( 4 cm)mit den Endpunkten A und C. Ich trage den Winkel = 90° in C ab und erhalte einen freien Schenkel. Dann zeichne ich einen Kreisbogen (r=3 cm) um C, der den freien Schenkel schneidet, ein. Den Schnittpunkt nenne ich B. Als letztes zeichne ich die Strecke (=c) ein. Umkreis eines Dreiecks Für jedes Dreieck gilt: Die Mittelsenkrechten der drei Dreiecks Seiten schneiden sich in einem Punkt S. Bei Dreiecken mit drei spitzen Winkeln liegt dieser Schnittpunkt innerhalb des Dreiecks. Bei Dreiecken mit einem stumpfen Winkel liegt dieser Schnittpunkt außerhalb des Dreiecks. Bei Dreiecken mit einem rechten Winkel liegt dieser Schnittpunkt auf der längsten Seite. Dieser Schnittpunkt hat von allen drei Seiten des Dreiecks den gleichen Abstand, er ist der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks. Beispiel: Der Inkreis Für jedes Dreieck gilt: Die Drei Winkelhalbierenden der drei Innenwinkel schneiden sich (innerhalb des Dreiecks) in einem Punkt I. Dieser Punkt hat von allen drei Seiten den gleichen Abstand. Er ist der Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks. Seitenhalbierende Eine Seitenhalbierende in einem Dreieck ist die Verbindungsstrecke einer Seitenmitte und der ihr gegenüber liegender Eckpunkt. In jedem Dreieck schneiden sie sich in einem Punkt S. Diese Punkt heißt Schwerpunkt des Dreiecks. Dieser Schwerpunkt teilt jede Seitenhalbierende in zwei Teilstrecken, von denen eine doppelt so lang ist wie die Andere. Der Schwerpunkt teilt sie im Verhältnis 2:1. Höhe im Dreieck Jede Höhe ist die Senkrechte Verbindungsstrecke einer Ecke des Dreiecks mit der ihren gegenüberliegenden Seite (oder deren Verlängerungen). In jedem Dreieck schneiden sich die Höhen (oder deren Verlängerungen) in einem Punkt. Dieser heißt Höhenschnittpunkt des Dreiecks. Lagemöglichkeiten von Kreis und Geraden Haben eine Gerade und ein Kreis 1]keinen Schnittpunkt 2]einen Schnittpunkt 3]zwei Schnittpunkte dann heiß die Gerade 1]Passante 2]Tangente Beispiel Der gemeinsame Punkt von Kreis und Tangente heißt 3]Sekante Beispiel Eine Gerade und ein Kreis können höchstens zwei gemeinsame Schnittpunkte haben. Wenn der Kreisradius senkrecht zur Geraden t ist dann ist t eine Tangente des Kreises. Beispiel Der Satz des Thales Wenn bei einem Dreieck ABC Die Ecke C auf der Kreislinie des Kreises mit dem Durchmesser liegt, dann hat das Dreieck bei C einen rechten Winkel. Beispiel Bewies des Satzes des Thales =1(Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks AMC ) =2(Basiswinkel des gleichschenkligen Dreiecks MBC ) 1+2= ++=180° 1+2+=180° +=180° Damit hat das Dreieck ABC einen rechten Winkel und der Satz des Thales ist bewiesen. Der Mittelpunkswinkel Wenn M der Mittelpunkt und AB ein Kreisbogen eines Kreises ist, dann heißt der Winkel AMC Mittelpunkswinkel. Beispiel Der Umfangswinkel Wenn die Punkte A, B und C auf der Kreislinie liegen und der Punkt nicht auf dem Kreisbogen BC liegt, dann heißt der Winkel Umfangswinkel über den Kreisbogen BC. Beispiel Der Mittelpunkssatz Jeder Umfangswinkel über einen Kreisbogen AB ist halb so groß wie der Mittelpunkswinkel über denselben Kreisbogen. Beispiel Der Umfangswinkel Satz Alle Umfangswinkel über denselben Kreisbogen sind gleich groß. Beispiel